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苏锡常镇2017二模数学

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将函数
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(
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[0,2])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角
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(0为锐角),若所得曲线曲线C仍是一个函数的图象,则
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的最大值为 .
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解析 这是一个什么函数?我们先对它的解析式等价转化,让其露出“庐山真面目”:由
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得,
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. 函数的图象是以C(1,-
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)为圆心,半径为2的圆吗?
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回顾函数的定义!对于定义域内的任意x值,与之对应的y是唯一确定的. 圆显然不能做到这一点.我们注意到
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≥0,从而y≥-
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,即取圆的上半部;又
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[0,2],所以函数的图象是
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[0,2]的圆弧,如图1.“对于每一个旋转角


1.
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,曲线C都是一个函数的图象”,言外之意,旋转圆弧后也有可能就不是函数图象了——当然还是解析几何的曲线.“是”与“不是”的判断标准就是函数的定义:对于定义域内的任意x值,与之对应的y是唯一确定的. 如图2,是;如图3,不是.三个图的显著区别是圆心位置,当然,随圆心位置变化的是过原点的圆C的切线.在图3中,由于切线逆时针转过了y轴,此时,y轴与圆弧有两个交点,即与x=0对应的y不唯一.

结合三个图可知,当切线从起始位置l0逆时针转至y轴时,都能保证曲线C是一个函数的图象,所以,所求


一.
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的最大值是l0的倾斜角的余角,其正切值是
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